问题 解答题
已知函数f(x)=x-
1
xm
f(2)=
3
2
,x∈(0,+∞).
(1)求m的值;
(2)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数.
答案

(1)∵函数f(x)=x-

1
xm
f(2)=
3
2
,x∈(0,+∞),

∴2-

1
2m
=
3
2

解得 m=1.------(2分)

(2)由于 m=1,故f(x)=x-

1
x

设x1,x2∈(0,+∞)且x1<x2

∵f(x1)-f(x2)=(x1-

1
x1
)-(x2-
1
x2
)=(x1-x2 )(
1
x2
-
1
x1
)------(4分)

=(x1-x2)×(1+

1
x1x2
).-------(6分)

∵x1,x2∈(0,+∞)且x1<x2

(1+

1
x1x2
)>0,可得(x1-x2)×(1+
1
x1x2
)<0
,-----(8分)

所以f(x1)<f(x2),所以f(x)在(0,+∞)上是增函数.-----------(10分)

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