问题 解答题

已知f(x)=kx+b,且f(1)=-1,f(2)=-3.

(1)求f(x)的解析式;

(2)求f(a-1)的值;

(3)判断函数f(x)的单调性,并用定义证明.

答案

(1)根据题意,有f(1)=k+b=-1,f(2)=2k+b=-3.

k+b=-1
2k+b=-3
,解可得
k=-2
b=1

则f(x)=-2x+1;

(2)由(1)可得,f(1)=-2x+1,

则f(a-1)=-2(a-1)+1=-2a+3;

(3)由一次函数的性质,可得f(x)为减函数,

证明如下:f(x)=-2x+1,f(x)的定义域为R,

设任意的x1、x2∈R,且x1<x2

f(x1)-f(x2)=(-2x1+1)-(-2x2+1)=2(x2-x1),

又由x1<x2,则f(x1)-f(x2)=2(x2-x1)>0,

则f(x)为减函数.

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