问题
解答题
| （理科）已知二次函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的定义域为[-1，1]，且|f（x）|的最大值为M． （Ⅰ）试证明|1+b|≤M； （Ⅱ）试证明M≥
（Ⅲ）当M=
|
答案
（Ⅰ）证明：∵M≥|f（-1）|=|1-a+b|，M≥|f（1）|=|1+a+b|
∴2M≥|1-a+b|+|1+a+b|≥|（1-a+b）+（1+a+b）|=2|1+b|
∴M≥|1+b|
（Ⅱ）证明：依题意，M≥|f（-1）|，M≥|f（0）|，M≥|f（1）|
又|f（-1）|=|1-a+b|，|f（1）|=|1+a+b|，|f（0）|=|b|
∴4M≥|f（-1）|+|f（0）|+|f（1）|=|1-a+b|+2|b|+|1+a+b|≥|（1-a+b）-2b+（1+a+b）|=2
∴M≥1 2
（Ⅲ）依M=
时，|f(0)|=|b|≤1 2
，-1 2
≤b≤1 2
①同理-1 2
≤1+a+b≤1 2
②-1 2
≤1-a+b≤1 2
③1 2
②+③得：-
≤b≤-3 2
④由①、④得：b=-1 2
．1 2
当b=-
时，分别代入②、③得：1 2
⇒a=0，因此f(x)=x2--1≤a≤0 0≤a≤1
．1 2