已知二次函数y=f（x）的定义域为R，f（1）=2，在x=t处取得最值，若y=g

问题解答题

已知二次函数y=f（x）的定义域为R，f（1）=2，在x=t处取得最值，若y=g（x）为一次函数，且f（x）+g（x）=x²+2x-3．

（1）求f（x）的解析式；

（2）若x∈[-1，2]时，f（x）≥-1恒成立，求t的取值范围．

答案

（1）设f（x）=a（x-t）²+b，

∵f（1）=2，∴a（1-t）²+b=2．

又f（x）+g（x）=x²+2x-3，g（x）为一次函数，

∴a=1，则b=2-（1-t）²，

∴f（x）=（x-t）²+2-（1-t）²=（x-t）²-t²+2t+1．

（2）①若t＜-1时，

要使f（x）≥-1恒成立，只需f（-1）≥-1，

即t≥-

，这与t＜-1矛盾；

②-1≤t≤2时，要使f（x）≥-1恒成立，

只需f（t）≥-1，即-t²+2t+1≥-1，

即1-

≤t≤1+

，∴1-

≤t≤2；

③若t＞2时，要使f（x）≥-1恒成立，

只需f（2）≥-1，即t≤3，∴2＜t≤3，

综上所述t的取值范围是[1-

，3]．