问题
解答题
已知函数f(x)=ax2-2
（1）当b=0时，若f（x）在（-∞，2]上单调递减，求a的取值范围； （2）求满足下列条件的所有整数对（a，b）：存在x0，使得f（x0）是f（x）的最大值，g（x0）是g（x）的最小值； （3）对满足（II）中的条件的整数对（a，b），试构造一个定义在D=x|x∈R且x≠2k，k∈Z上的函数h（x），使h（x+2）=h（x），且当x∈（-2，0）时，h（x）=f（x）． |
答案
（1）当b=0时，f（x）=ax2-4x，（1分）
若a=0，f（x）=-4x，则f（x）在（-∞，2]上单调递减，符合题意；（3分）
若a≠0，要使f（x）在（-∞，2]上单调递减，
必须满足
（5分）a＞0
≥24 2a
∴0＜a≤1．综上所述，a的取值范围是[0，1]（6分）
（2）若a=0，f(x)=-2
x，则f（x）无最大值，（7分）4+2b-b2
故a≠0，∴f（x）为二次函数，
要使f（x）有最大值，必须满足
即a＜0且1-a＜0 4+2b-b2≥0
≤b≤1+5
，（8分）5
此时，x0=
时，f（x）有最大值．（9分）4+2b-b2 a
又g（x）取最小值时，x0=a，（10分）
依题意，有
=a∈Z，则a2=4+2b-b2 a
=4+2b-b2
，（11分）5-(b-1)2
∵a＜0且1-
≤b≤1+5
，∴0＜a2≤5
(a∈Z)，得a=-1，（12分）5
此时b=-1或b=3．
∴满足条件的整数对（a，b）是（-1，-1），（-1，3）．（13分）
（3）当整数对是（-1，-1），（-1，3）时，f（x）=-x2-2x∵h（x+2）=h（x），
∴h（x）是以2为周期的周期函数，（14分）
又当x∈（-2，0）时，h（x）=f（x），构造h（x）如下：当x∈（2k-2，2k），k∈Z，则，h（x）=h（x-2k）=f（x-2k）=-（x-2k）2-2（x-2k），
故h（x）=-（x-2k）2-2（x-2k），x∈（2k-2，2k），k∈Z．（16分）