问题
解答题
已知函数f（x）=loga
（1）求出m的值，并求出定义域D； （2）判断f（x）在（1，+∞）上的单调性，并加以证明； （3）当x∈（r，a-2）时，f（x）的值的范围恰为（1，+∞），求a及r的值． |
答案
（1）因为f（x）是奇函数，所以f（-x）=-f（x），
所以loga
=loga1-mx x-1
，…（2分）-x-1 1+mx
即1-m2x2=1-x2对一切x∈D都成立，…（3分）
所以m2=1，m=±1，…（4分）
由于
＞0，所以m=-1…（5分）1-mx x-1
所以f（x）=loga
，D=（-∞，-1）∪（1，+∞）…（6分）1+x x-1
（2）当a＞1时，f（x）=loga
，任取x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，…（7分）1+x x-1
则f（x1）-f（x2）=loga
-loga1+x1 x1-1
=loga（1+x2 x2-1
+1）-loga（2 x1-1
+1）…（9分）2 x2-1
由于x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，所以
+1＞2 x1-1
+1，得f（x1）＞f（x2），…（10分）2 x2-1
【注】只要写出x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，f（x1）-f（x2）=…=…，得出f（x1）＞f（x2）即可．
即f（x）在（1，+∞）上单调递减…（11分）
同理可得，当0＜a＜1时，f（x）在（1，+∞）上单调递增 …（13分）
（3）因为x∈（r，a-2），定义域D=（-∞，-1）∪（1，+∞），
1°当r≥1时，则1≤r＜a-2，即a＞3，…（14分）
所以f（x）在（r，a-2）上为减函数，值域恰为（1，+∞），所以f（a-2）=1，…（15分）
即loga
=loga1+a-2 a-2-1
=1，即a-1 a-3
=a，…（16分）a-1 a-3
所以a=2+
且r=1 …（18分）3
2°当r＜1时，则（r，a-2）⊈（-∞，-1），所以0＜a＜1
因为f（x）在（r，a-2）上为增函数，
所以f（r）=1，a-2=-1，
解得a=1与a＞0且a≠1矛盾（舍） …（20分）