问题
解答题
| 设f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，当x∈（0，1]时，f（x）=2tx-4x3（t为常数） （1）求f（x）的表达式； （2）当0＜t≤6时，用定义证明f（x）在[-
（3）当t＞6时，是否存在t使f（x）的图象的最高点落在直线y=12上．若存在，求出t的值，若不存在，说明理由． |
答案
（1）设x∈[-1，0），则-x∈（0，1]，
∴f（-x）=-2tx+4x3，
∵f（x）为定义在R上的奇函数
∴f（x）=-f（-x）=2tx-4x3，
∴f（x）的表达式为：f（x）=
．2tx-4x 3，x∈(0，1] 0．x=0 2tx-4x 3，x∈[-1，0)
（2）先设x1、x2∈[0，
]，令x1＜x2，则有x1-x2＜0．6t 6
f（x1）-f（x2）=2tx1-4x13-（2tx2-4x23）
=2t（x1-x2）-4（x13-x23）=（x1-x2）[2t+4（x12+x2x1+x22）]
∵x1、x1∈[0，
]，x1-x2＜06t 6
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以f（x）在[0，
]上单调递增．6t 6
（3）当t＞6时，
＞1，由（2）得f（x）在[-1，1]上单调递增，6t 6
令f（1）=12，存在t=8，满足条件．