由f（x）为奇函数得f（-x）+f（x）=0，即

bx+c

ax2+1

+

-bx+c

ax2+1

=0，

∴c=0．

 又a＞0，b是自然数，

∴当x＜0时，f（x）＜0，

 当x＞0时，f（x）＞0，

故f（x）的最大值

1

2

必在x＞0时取得；

当x＞0时，f（x）=

bx

ax2+1

=

b

ax+ 1 x

≤

b

2 a

，

当且仅当ax=

1

x

，即x=

1

a

时取得

b

2 a

=

1

2

，即a=b²，

又f（1）＞

2

5

，

∴

b

b2+1

＞

2

5

，

∴2b²-5b+2＜0，即（2b-1）（b-2）＜0，

∴

1

2

＜b＜2 又a＞0，b是自然数可得a=b=1，

∴f（x）=

x

x2+1

．