问题
单项选择题
设函数f(x)在区间(-1，1)内二次可导，已知f(0)=0，f'(0)=1，且f"(x)＜0当x∈(-1，1)时成立，则
A．当x∈(-1，0)时f(x)＞x，而当x∈(0，1)时f(x)＜x．
B．当x∈(-1，0)时f(x)＜x，而当x∈(0，1)时f(x)＞x．
C．当x∈(-1，0)与x∈(0，1)时都有f(x)＞x．
D．当x∈(-1，0)与x∈(0，1)时都有f(x)＜x．
答案
参考答案：D
解析：[分析] 由题设知，曲线y=f(x)在原点处的切线方程为y=x，而曲线y=f(x)在区间(-1，1)内是凸弧．由凸弧与其上某点处的切线的位置关系即知结论(D)正确．
也可以直接证明(D)正确：令F(x)=f(x)-x，则F(0)=0，F'(0)=f'(0)-1=0，且F"(x)=f"(x)＜0当x∈(-1，1)时成立．由此可得F'(x)在区间(-1，1)内单调减少，从而，当x∈(-1，0)时F'(x)＞F'(0)=0，这表明F(x)在区间(-1，0]上单调增加，故当x∈(-1，0)时有F(x)＜F(0)=0[*]f(x)＜x成立．类似可得，当x∈(0，1)时F'(x)＜F'(0)=0，这表明F(x)在区间[0，1)上单调减少，故当x∈(0，1)时有F(x)＜F(0)=0[*]f(x)＜x也成立．