问题
解答题
| 某光学仪器厂有一条价值为a万元的激光器生产线，计划通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值．经过市场调查，产品的增加值y万元与技术改造投入x万元之间满足： ①y与（a-2x）•x2成正比； ②当x=
（I）求y=f（x）表达式及定义域； （Ⅱ）求技术改造之后，产品增加值的最大值及相应x的值． |
答案
（I）设y=k（a-2x）x2．
由x=
时，y=a 4
可得k=4．a3 8
所以y=4（a-2x）x2．…（3分）
由0＜
≤t，x a-x
解得0＜x≤
．at t+1
所以函数f（x）的定义域为(0，
](1＜t≤2)．…（6分）at t+1
（II）由（I）知y=-8x3+4ax2，
所以y′=-24x2+8ax=-24x(x-
)．a 3
令y'=0得x=
．…（8分）a 3
因为t∈（1，2]，
所以
-at t+1
=a 3
=2at-a 3(t+1)
＞0，即a(2t-1) 3(t+1)
＞at t+1
．a 3
当0＜x＜
时，y'＞0，函数y=f（x）是增函数；a 3
当
＜x≤a 3
时，y'＜0，函数y=f（x）是减函数．…（11分）at t+1
所以当x=
时，函数y=f（x）取得最大值，且最大值是a 3
．…..（13分）4a3 27
所以，1＜t≤2时，投入
a万元最大增加值1 3
a3万元．…（14分）4 27