问题 解答题
判断函数f(x)=x-
1
x
 的奇偶性,单调性,并利用定义证明.
答案

函数的定义域为:x∈(-∞,0)∪(0,+∞)

f(-x)=-x+

1
x
=-f(x),函数是奇函数;

任取x1<x2<0,f(x1)-f(x2)=( x1-

1
x 1
)-(x2-
1
x 2

=

(x 1x 2+1)(x 1-x 2)   
x 1x 2
<0,即

因为x1<x2<0,所以f(x1)<f(x2),函数在(-∞,0)上是增函数

同样方法证明,当x2>x1>0时,f(x2)>f(x1),函数在(0,+∞)上是增函数

综上所述,当x≠0时,函数的单调增区间是(-∞,0)和(0,+∞).

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