问题 解答题
给出集合A={-2,-1,-
1
2
-
1
3
1
2
,1,2,3}.已知a∈A,使得幂函数f(x)=xa为奇函数;指数函数g(x)=ax在区间(0,+∞)上为增函数.
(1)试写出所有符合条件的a,说明理由;
(2)判断f(x)在(0,+∞)的单调性,并证明;
(3)解方程:f[g(x)]=g[f(x)].
答案

(1)a=3.…1分

∵指数函数g(x)=ax在区间(0,+∞)上为增函数,

∴a>1,

∴a只可能为2或3.

而当a=2时,幂函数f(x)=x2为偶函数,

只有当a=3时,幂函数f(x)=x3为奇函数.

(只需简单说明理由即可,无需与答案相同)…2分

(2)f(x)=x3在(0,+∞)上为增函数.…1分

证明:在(0,+∞)上任取x1,x2,x1<x2

f(x1)-f(x2)=x13-x23

=(x1-x2)(x12+x1x2+x22

=(x1-x2)[(x1+

1
2
x2)2+
3
4
x22
],

∵x1<x2

∴x1-x2<0,(x1+

1
2
x2)2+
3
4
x22
>0,

∴f(x1)-f(x2)<0,

∴f(x1)<f(x2).

∴f(x)=x3在(0,+∞)上为增函数.…3分

(3)f[g(x)]=(3x3=33x

g[f(x)]=3x3

∴33x=3x3,…2分

根据指数函数的性质,

得3x=x3

∴x1=0,x2=

3
,x3=-
3
. …1分.

单项选择题
单项选择题 案例分析题