问题
解答题
给出集合A={-2,-1,-
(1)试写出所有符合条件的a,说明理由; (2)判断f(x)在(0,+∞)的单调性,并证明; (3)解方程:f[g(x)]=g[f(x)]. |
答案
(1)a=3.…1分
∵指数函数g(x)=ax在区间(0,+∞)上为增函数,
∴a>1,
∴a只可能为2或3.
而当a=2时,幂函数f(x)=x2为偶函数,
只有当a=3时,幂函数f(x)=x3为奇函数.
(只需简单说明理由即可,无需与答案相同)…2分
(2)f(x)=x3在(0,+∞)上为增函数.…1分
证明:在(0,+∞)上任取x1,x2,x1<x2,
f(x1)-f(x2)=x13-x23
=(x1-x2)(x12+x1x2+x22)
=(x1-x2)[(x1+
x2)2+1 2 3 4
],x 22
∵x1<x2,
∴x1-x2<0,(x1+
x2)2+1 2 3 4
>0,x 22
∴f(x1)-f(x2)<0,
∴f(x1)<f(x2).
∴f(x)=x3在(0,+∞)上为增函数.…3分
(3)f[g(x)]=(3x)3=33x,
g[f(x)]=3x3,
∴33x=3x3,…2分
根据指数函数的性质,
得3x=x3,
∴x1=0,x2=
,x3=-3
. …1分.3