问题
解答题
已知f(x)的定义域为(0,+∞),当x>1时,f(x)>0,且对于任意实数x,y满足f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=1.
(1)试判断函数f(x)的单调性,并证明;
(2)试解不等式f(x)+f(x-2)<3.
答案
(1)由题意可得 f(1)=f(1×1)=f(1)+f(1)=2f(1),∴f(1)=0.
令y=
,可得 f(1)=0=f(x)+f(1 x
),∴f(1 x
)=-f(x).1 x
设 x2>x1>0,则
>1,∴f(x2 x1
)=f(x2)+f(x2 x1
)=f(x2)-f(x1)>0,1 x1
即 f(x2)>f(x1),函数f(x)在(0,+∞)上是增函数.
(2)不等式f(x)+f(x-2)<3 即 f[x(x-2)]<3.
由于 f(4)=f(2)+f(2)=2,f(8)=f(4)+f(2)=3,
故不等式即 f[x(x-2)]<f(8).
由
解得 2<x<4,故不等式的解集为 (2,4).x>0 x-2>0 x(x-2)<8