问题 解答题

已知f(x)的定义域为(0,+∞),当x>1时,f(x)>0,且对于任意实数x,y满足f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=1.

(1)试判断函数f(x)的单调性,并证明;

(2)试解不等式f(x)+f(x-2)<3.

答案

(1)由题意可得 f(1)=f(1×1)=f(1)+f(1)=2f(1),∴f(1)=0.

令y=

1
x
,可得 f(1)=0=f(x)+f(
1
x
),∴f(
1
x
)=-f(x).

设 x2>x1>0,则

x2
x1
>1,∴f(
x2
x1
)=f(x2)+f(
1
x1
)=f(x2)-f(x1)>0,

即 f(x2)>f(x1),函数f(x)在(0,+∞)上是增函数.

(2)不等式f(x)+f(x-2)<3 即 f[x(x-2)]<3.

由于 f(4)=f(2)+f(2)=2,f(8)=f(4)+f(2)=3,

故不等式即 f[x(x-2)]<f(8).

x>0
x-2>0
x(x-2)<8
 解得 2<x<4,故不等式的解集为 (2,4).

问答题
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