问题
解答题
| 设函数y=f（x）是定义在R上的函数，并且满足下面三个条件； ①对任意正数x，y，都有f（xy）=f（x）+f（y）； ②当x＞1时，f（x）＜0； ③f（3）=-1． （Ⅰ）求f(1)，f(
（Ⅱ）证明f（x）在R+是减函数； （Ⅲ）如果不等式f（x）+f（2-x）＜2成立，求x的取值范围． |
答案
（Ⅰ）令x=y=1易得f（1）=0，
而f（9）=f（3）+f（3）=-1-1=-2，
且f(9)+f(
)=f(1)=0，得f(1 9
)=2.1 9
（Ⅱ）取定义域中的任意的x1，x2
且0＜x1＜x2⇒
＞1 ⇒f(x2 x1
)＜0x2 x1
∴f(x2)=f(
•x1)=f(x2 x1
)+f(x1)＜f(x1)x2 x1
∴f（x）在R+上为减函数．
（Ⅲ）由条件（1）及（Ⅰ）的结果得：f[x(2-x)]＜f(
)，其中0＜x＜2，1 9
由可（Ⅱ）得：x(2-x)＞ 1 9 0＜x＜2
解得x的范围是(1-
，1+2 2 3
)．2 2 3