问题
解答题
己知向量a=(2sin
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域和值域； （Ⅱ）求函数f（x）的单调区间． |
答案
（Ⅰ）∵
•a
=2sinb
cosx 2
+(1-x 2
cos2
)(1+x 2
cos2
)=sinx+1-2cos2x 2 x 2
=sinx-cosx=
sin(x-2
)．π 4
由sin(x-
)＞0，π 4
得2kπ＜x-
＜2kπ+π，π 4
即2kπ+
＜x＜2kπ+π 4
，k∈Z．5π 4
∴f（x）的定义域是(2kπ+
，2kπ+π 4
)，k∈Z．5π 4
∵0＜
sin(x-2
)≤π 4
，则f(x)≥log2 1 2
=-2
，1 2
∴f（x）的值域是[-
，+∞)．1 2
（Ⅱ）由题设f(x)=log1 2
sin(x-2
)．π 4
若f（x）为增函数，则y=
sin(x-2
)为减函数，π 4
∴2kπ+
≤x-π 2
＜2kπ+π，π 4
即2kπ+
≤x＜2kπ+3π 4
，5π 4
∴f（x）的递增区间是[2kπ+
，2kπ+3π 4
)，k∈Z．5π 4
若f（x）为减函数，则y=
sin(x-2
)为增函数，π 4
∴2kπ＜x-
≤2kπ+π 4
，即2kπ+π 2
＜x≤2kπ+π 4
，3π 4
∴f（x）的递减区间是(2kπ+
，2kπ+π 4
]，k∈Z．3π 4