若函数f（x）=

x2+x+1

1+x2

+a（ a∈R）是奇函数，

由于函数的定义域为R

∴f（0）=0

则a=-1

∴f（x）=

x2+x+1

1+x2

-1=

x

1+x2

=

1

1 x +x

∵

1

x

+x∈（-∞，-2]∪[2，+∞）

∴f（x）∈[-

1

2

，0）∪（0，

1

2

]

故函数f（x）的最大值为

1

2

故答案为：

1

2