（1）∵函数f（x）图象经过原点，∴设f（x）=ax²+bx（a≠0），

∵f（x-1）=f（x）+x-1，

∴a（x-1）²+b（x-1）=ax²+bx+x-1，即ax²-（2a-b）x+a-b=ax²+（b+1）x-1，

∴

-(2a-b)=b+1 a-b=-1

，解得a=-

1

2

，b=

1

2

．

∴f(x)=-

1

2

x2+

1

2

x．

（2）由F（x）=4f（a^x）+3a^2x-1（a＞0且a≠1），得F（x）=a^2x+2a^x-1，

①当a＞1时，令t=a^x，

∵x∈[-1，1]，∴t∈[

1

a

，a]，

∴g（t）=t²+2t-1=（t+1）²-2，t∈[

1

a

，a]，

∵对称轴t=-1，∴g（t）在[

1

a

，a]上是增函数．

∴g（a）=a²+2a-1=14，∴a²+2a-15=0，解得a=3，a=-5（舍）；

②当0＜a＜1时，

令u=a^x，∵x∈[-1，1]，∴u∈[a，

1

a

]，

∴g（u）=u²+2u-1=（u+1）²-2，u∈[a，

1

a

]，

∵对称轴u=-1，∴g（u）在[a，

1

a

]上是增函数．

∴g(

1

a

)=(

1

a

)2+

2

a

-1=14，∴

1

a

=3，

1

a

=-5（舍），∴a=

1

3

，

综上a=

1

3

或a=3．