由题意知：△=[2（m-13）]²-4×6×（12-m）=4×[（m-13）²-6•（12-m）]应该是一个完全平方式，

所以（m-13）²-6•（12-m）是一个完全平方式，

令（m-13）²-6•（12-m）=y²（y是正整数），则

m²-20m-y²+97=0，即（m-10）²-y²=3，

∴（m-10+y）（m-10-y）=3×1=（-3）×（-1），

∴

解得m=12或8，

当m=12时，原方程即6x²-2x=0，

解得x=0或

当m=8时符合题意，整数m的值为8，

故答案为8．