问题
解答题
已知函数f（x）=x2+ax-lnx，a∈R．
（1）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；
（2）令g（x）=f（x）-x2，是否存在实数a，当x∈（0，e]（e是自然常数）时，函数g（x）的最小值是3，若存 在，求出a的值；若不存在，说明理由．
答案
（1）f′(x)=2x+a-
=1 x
≤0在[1，2]上恒成立，2x2+ax-1 x
令h（x）=2x2+ax-1，
有h(1)≤0 h(2)≤0
得
，a≤-1 a≤- 7 2
得a≤-
（6分）7 2
（2）假设存在实数a，使g（x）=ax-lnx（x∈（0，e]）有最小值3，g′(x)=a-
=1 x
（7分）ax-1 x
当a≤0时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）min=g（e）=ae-1=3，a=
（舍去），4 e
∴g（x）无最小值．
当0＜
＜e时，g（x）在(0，1 a
)上单调递减，在(1 a
，e]上单调递增1 a
∴g(x)min=g(
)=1+lna=3，a=e2，满足条件．（11分）1 a
当
≥e时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）min=g（e）=ae-1=3，a=1 a
（舍去），4 e
∴f（x）无最小值．（13分）
综上，存在实数a=e2，使得当x∈（0，e]时f（x）有最小值3．（14分）