问题
解答题
| 已知数列{an}的各项均为正数，记A（n）=a1+a2+…+an，B（n）=a2+a3+…+an+1，C（n）=a3+a4+…+an+2，n=1，2，…． （Ⅰ）若a1=1，a2=3，且对任意n∈N*，三个数A（n），B（n），C（n）组成等差数列，求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列，证明：数列{an}是公比为q的等比数列； （Ⅲ） （理科）在（Ⅰ）的条件下，求使不等式(1+
|
答案
（Ⅰ）对任意n∈N*，三个数A（n），B（n），C（n）是等差数列，
所以B（n）-A（n）=C（n）-B（n），
即an+1-a1=an+2-a2，
亦即an+2-an-1=a2-a1=2．
故数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列．
于是an=1+（n-1）×2=2n-1
（Ⅱ）若对于任意n∈N*，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列，
则B（n）=qA（n），C（n）=qB（n），于是C（n）-B（n）=q[B（n）-A（n）]，
得an+2-a2=q（an+1-a1），
即an+2-qan+1=a2-a1．由n=1有B（1）=qA（1），即a2=qa1，从而an+2-qan+1=0．
因为an＞0，所以
=an+2 an+1
=q，故数列{an}是首项为a1，公比为q的等比数列，a2 a1
（Ⅲ）（理科）
由题意得p≤
(1+1 2n+1
)(1+1 a1
)…(1+1 a2
)对n∈N*恒成立1 an
记F(n)=
(1+1 2n+1
)(1+1 a1
)…(1+1 a2
)，1 an
则
=F(n+1) F(n)
=
(1+1 2n+3
)(1+1 a1
)…(1+1 a2
)(1+1 an
)1 an+1
(1+1 2n+1
)(1+1 a1
)…(1+1 a2
)1 an
=2n+2 (2n+1)(2n+3)
＞2(n+1) 4(n+1)2-1
=12(n+1) 2(n+1)
∵F（n）＞0，
∴F（n+1）＞F（n），
即F（n）是随n的增大而增大F（n）的最小值为F(1)=2 3
，3
∴p≤2 3
，3
即pmax=2 3
．3