问题 解答题
二次函数f(x)=ax2+bx+c(a<0)对一切x∈R都有f(2+x)=f(2-x),且f(1)=
7
2
,f(x)的最大值为
9
2

(1)求a和b,c的值;
(2)解不等式f[logc(x2+x+
1
2
)]<f[logc(2x2-x+
5
8
)]
答案

(1)∵f(2+x)=f(2-x)

∴二次函数f(x)=ax2+bx+c(a<0)的图象关于直线x=2对称.

∴f(2)=4a+2b+c=

9
2
①且f(1)=a+b+c=
7
2
②,-
b
2a
=2
③,联立①②③解得:

a=-1,b=4,c=

1
2

(2)由(1)知f(x)在(-∞,2]上递增,在[2,+∞)上递减且c=

1
2

log

1
2
(x2+x+
1
2
)=log
1
2
[(x+
1
2
)
2
+
1
4
]≤2,log
1
2
(2x2-x+
5
8
)=log
1
2
[2(x-
1
4
)
2
+
1
2
]≤1

由原不等式得:log

1
2
(x2+x+
1
2
)<log
1
2
(2x2-x+
5
8
)
x2+x+
1
2
>0
2x2-x+
5
8
>0
x2+x+
1
2
>2x2-x+
5
8
⇔1-
14
4
<x<1+
14
4

故原不等式的解集是{x|1-

14
4
<x<1+
14
4
}.

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