问题 解答题
求方程
1
x
+
1
y
+
1
z
=
5
6
的正整数解.
答案

∵x,y,z是正整数,并且

1
x
+
1
y
+
1
z
=
5
6
<1

∴x,y,z都>1,不妨设

1<x≤y≤z

1
x
1
y
1
z
,于是

1
x
1
x
+
1
y
+
1
z
1
x
+
1
x
+
1
x
=
3
x

1
x
5
6
3
x

6
5
<x≤
18
5
,可确定x=2或3,

当x=2时,得

1
y
1
y
+
1
z
=
5
6
-
1
2
=
1
3
1
y
+
1
y
=
2
y

1
y
1
3
 ≤
2
y

∴3<y<6,可确定y=4或5或6.

当x=3时,由

1
x
+
1
y
+
1
z
=
5
6
-
1
3
=
1
2
得:

1
y
1
y
+
1
z
=
1
2
1
y
+
1
y
=
2
y

1
y
1
2
2
y

∴2<y≤4可知y=3或4,于是由

x=2
y=4
得,z=12;

x=2
y=5
得,z=
2
15
(舍去)

x=2
y=6
得,z=6,
x=3
y=3
得,z=6;

x=3
y=4
得,z=4.

因此,当1<x≤y≤z时,解

(x,y,z)(2,4,12),(2,6,6),

(3,3,6),(3,4,4)共四组

由于x,y,z在方程中地位平等,所以可得如下表所列的15组解

x22441212266336344
y41221224626363443
z12412242662633434

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