∵x，y，z是正整数，并且

1

x

+

1

y

+

1

z

=

5

6

＜1

∴x，y，z都＞1，不妨设

1＜x≤y≤z

∴

1

x

≥

1

y

≥

1

z

，于是

1

x

＜

1

x

+

1

y

+

1

z

≤

1

x

+

1

x

+

1

x

=

3

x

即

1

x

＜

5

6

≤

3

x

∴

6

5

＜x≤

18

5

，可确定x=2或3，

当x=2时，得

1

y

＜

1

y

+

1

z

=

5

6

-

1

2

=

1

3

≤

1

y

+

1

y

=

2

y

，

即

1

y

＜

1

3

 ≤

2

y

∴3＜y＜6，可确定y=4或5或6．

当x=3时，由

1

x

+

1

y

+

1

z

=

5

6

-

1

3

=

1

2

得：

1

y

＜

1

y

+

1

z

=

1

2

≤

1

y

+

1

y

=

2

y

．

即

1

y

＜

1

2

≤

2

y

，

∴2＜y≤4可知y=3或4，于是由

x=2 y=4

得，z=12；

x=2 y=5

得，z=

2

15

（舍去）

由

x=2 y=6

得，z=6，

x=3 y=3

得，z=6；

x=3 y=4

得，z=4．

因此，当1＜x≤y≤z时，解

（x，y，z）（2，4，12），（2，6，6），

（3，3，6），（3，4，4）共四组

由于x，y，z在方程中地位平等，所以可得如下表所列的15组解

x	2	2	4	4	12	12	2	6	6	3	3	6	3	4	4
y	4	12	2	12	2	4	6	2	6	3	6	3	4	4	3
z	12	4	12	2	4	2	6	6	2	6	3	3	4	3	4