已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），当x＞1时，f（x）＞0，且f

问题解答题

已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），当x＞1时，f（x）＞0，且f（x•y）=f（x）+f（y）
（1）求f（1）；
（3）证明f（x）在定义域上是增函数；
（3）如果f(

)=-1，求满足不等式f(x)-f(

x-2

)≥2的x的范围．

答案

（1）∵f（x•y）=f（x）+f（y），

∴f（1）=f（1×1）=f（1）+f（1）=2f（1），

∴f（1）=0．

（2）设x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，

则

＞1，

∴f（

）＞0，

∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）-f（

•x₁）=f（x₁）-f（

）-f（x₁）=-f（

）＜0

∴f（x₁）＜f（x₂），

∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．

（3）令x=

，y=1得，f（

×1）=f（

）+f（1），∴f（1）=0．

令x=3，y=

得，f（1）=f（3×

）=f（3）+f（

），

∵f(

)=-1，∴f（3）=1．

令x=y=3得，f（9）=f（3）+f（3）=2，

∴f（x）-f（

x-2

）≥f（9），f（x）≥f（

x-2

）

∴

x≥

x-2

x＞0

x-2

＞0

，

解得x≥1+

．