（1）显然f（x）在区间（0，1]为增函数，

∵

1

x

f(x)=

1

x

(1-

1

1+x

)=

1

x

1+x -1

1+x

=

1

x

x

1+x ( 1+x +1)

=

1

1+x+ 1+x

，

∴

1

x

f(x)为减函数．∴f（x）在区间（0，1]为“弱增”函数．

（2）|f(x2)-f(x1)|=|

1

1+x2

-

1

1+x1

|=

| 1+x1 - 1+x2 |

1+x2 1+x1

=

|x2-x1|

1+x2 1+x1 ( 1+x2 + 1+x1 )

，

∵x₁，x₂∈[0，+∞），x₁≠x₂，

1+x2

1+x1

(

1+x2

+

1+x1

)＞2，

∴|f（x₂）-f（x₁）|＜

1

2

|x2-x1|．

（3）∵当x∈[0，1]时，不等式1-ax≤

1

1+x

≤1-bx恒成立． 当x=0时，不等式显然成立．

当x∈（0，1]时．等价于：

a≥ 1 x f(x) b≤ 1 x f(x)

，

由（1）

1

x

f(x)为减函数，1-

2

2

≤

1

x

f(x)＜

1

2

，∴a≥

1

2

，b≤1-

2

2

．