问题
解答题
| 已知函数f（x）满足定义域在（0，+∞）上的函数，对于任意的x，y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y），当且仅当x＞1时，f（x）＜0成立， （1）设x，y∈（0，+∞），求证f(
（2）设x1，x2∈（0，+∞），若f（x1）＜f（x2），试比较x1与x2的大小； （3）解关于x的不等式f（x2-2x+1）＞0． |
答案
（1）证明：∵f（xy）=f（x）+f（y），∴f(
)+f(x)=f(y)，y x
∴f(
)=f(y)-f(x)；y x
（2）∵f（x1）＜f（x2），∴f（x1）-f（x2）＜0，
又f(
)=f(x1)-f(x2)，所以f(x1 x2
)＜0x1 x2
∵当且仅当x＞1时，f（x）＜0成立，∴当f（x）＜0时，x＞1，
∴
＞1，x1＞x2x1 x2
（3）令x=y=1代入f（xy）=f（x）+f（y）得f（1）=f（1）+f（1），f（1）=0，
∴f（x2-2x+1）＞0⇔f（x2-2x+1）＞f（1），
由（2）可知函数f（x）在定义域（0，+∞）上是减函数，
∴0＜x2-2x+1＜1，
解得0＜x＜2且x≠1，
∴不等式解集为（0，1）∪（1，2）