问题 解答题
已知函数f(x)满足定义域在(0,+∞)上的函数,对于任意的x,y∈(0,+∞),都有f(xy)=f(x)+f(y),当且仅当x>1时,f(x)<0成立,
(1)设x,y∈(0,+∞),求证f(
y
x
)=f(y)-f(x)

(2)设x1,x2∈(0,+∞),若f(x1)<f(x2),试比较x1与x2的大小;
(3)解关于x的不等式f(x2-2x+1)>0.
答案

(1)证明:∵f(xy)=f(x)+f(y),∴f(

y
x
)+f(x)=f(y),

f(

y
x
)=f(y)-f(x);

(2)∵f(x1)<f(x2),∴f(x1)-f(x2)<0,

f(

x1
x2
)=f(x1)-f(x2),所以f(
x1
x2
)<0

∵当且仅当x>1时,f(x)<0成立,∴当f(x)<0时,x>1,

x1
x2
>1,x1>x2

(3)令x=y=1代入f(xy)=f(x)+f(y)得f(1)=f(1)+f(1),f(1)=0,

∴f(x2-2x+1)>0⇔f(x2-2x+1)>f(1),

由(2)可知函数f(x)在定义域(0,+∞)上是减函数,

∴0<x2-2x+1<1,

解得0<x<2且x≠1,

∴不等式解集为(0,1)∪(1,2)

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