问题
解答题
已知函数f(x)满足定义域在(0,+∞)上的函数,对于任意的x,y∈(0,+∞),都有f(xy)=f(x)+f(y),当且仅当x>1时,f(x)<0成立, (1)设x,y∈(0,+∞),求证f(
(2)设x1,x2∈(0,+∞),若f(x1)<f(x2),试比较x1与x2的大小; (3)解关于x的不等式f(x2-2x+1)>0. |
答案
(1)证明:∵f(xy)=f(x)+f(y),∴f(
)+f(x)=f(y),y x
∴f(
)=f(y)-f(x);y x
(2)∵f(x1)<f(x2),∴f(x1)-f(x2)<0,
又f(
)=f(x1)-f(x2),所以f(x1 x2
)<0x1 x2
∵当且仅当x>1时,f(x)<0成立,∴当f(x)<0时,x>1,
∴
>1,x1>x2x1 x2
(3)令x=y=1代入f(xy)=f(x)+f(y)得f(1)=f(1)+f(1),f(1)=0,
∴f(x2-2x+1)>0⇔f(x2-2x+1)>f(1),
由(2)可知函数f(x)在定义域(0,+∞)上是减函数,
∴0<x2-2x+1<1,
解得0<x<2且x≠1,
∴不等式解集为(0,1)∪(1,2)