（1）因为f（x）=3ax²+bx是定义在[a-1，2a]上的偶函数．

所以a-1+2a=0解得a=

1

3

，

此时函数f（x）=x²+bx．

因为f（x）=x²+bx是偶函数，所以f（-x）=f（x），

即f（-x）=x²-bx=x²+bx，所以-b=b，解得b=0．

（2）f（x）=x²，函数的定义域为[-

2

3

，

2

3

]且x≠0．所以g（x）=f（x）+

2

x

=x2+

2

x

，

所以g′(x)=2x-

2

x2

=

2(x3-1)

x2

，由g′(x)=

2(x3-1)

x2

＞0，解得x＞1，此时无解．

由g′(x)=

2(x3-1)

x2

＜0，解得x＜1，所以此时x∈[-

2

3

，0)∪(0.

2

3

]，所以函数在[-

2

3

，0)和（0，

2

3

]上都为减函数．