对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足：①f（x）在D内单调递

问题解答题

对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足：①f（x）在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]；那么把y=f（x）（x∈D）叫做闭函数．
（Ⅰ）请你举出一个闭函数的例子，并写出它的一个符合条件②的区间[a，b]；
（Ⅱ）求闭函数y=-x³符合条件②的区间[a，b]；
（Ⅲ）判断函数f(x)=

(x＞0)是否为闭函数？并说明理由．

答案

（Ⅰ）如f（x）=x，[a，b]=[1，2]．

（Ⅱ）由题意，y=-x³在[a，b]上递减，则

b=-a3

a=-b3

b＞a

，

解得

a=-1

b=1

．

所以，所求的区间为[-1，1]．

（Ⅲ）取x₁=1，x₂=10，则f(x1)=

＜

=f(x2)，

即f（x）不是（0，+∞）上的减函数．

取x1=

，x2=

100

，f(x1)=

+10＜

400

+100=f(x2)，

即f（x）不是（0，+∞）上的增函数．

所以，函数在定义域内既不单调递增也不单调递减，从而该函数不是闭函数．