问题
解答题
| 在△ABC中，求分别满足下列条件的三角形形状： ①B=60°，b2=ac；②b2tanA=a2tanB； ③sinC=
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答案
①由余弦定理cos60°=
⇒a2+c2-b2 2ac
=a2+c2-b2 2ac
⇒a2+c2-ac=ac1 2
∴（a-c）2=0，∴a=c．由a=c及B=60°可知△ABC为等边三角形．
②由b2tanA=a2tanB⇒
=b2sinA cosA
⇒a2sinB cosB
=sinBcosA sinAcosB
=b2 a2
∴sinAcosA=sinBcosB，∴sin2A=sin2B，∴A=B或A+B=90°，sin2B sin2A
∴△ABC为等腰△或Rt△．
③∵sinC=
，由正弦定理：c（cosA+cosB）=a+b，sinA+sinB cosA+cosB
再由余弦定理：c×
+c×a2+b2-c2 2bc
=a+ba2+c2-b2 2ac
∴（a+b）（c2-a2-b2）=0，∴c2=a2+b2，∴△ABC为Rt△．
④由条件变形为
=sin(A-B) sin(A+B) a2-b2 a2+b2
∴
=sin(A+B)+sin(A-B) sin(A+B)-sin(A-B)
，⇒a2 b2
=sinAcosB cosAsinB
，∴sin2A=sin2B，∴A=B或A+B=90°．sin2A sin2B
∴△ABC是等腰△或Rt△．