是增函数．证明如下：

设t=log_ax，则x=a^t，

∴f(t)=

a

a2-1

•

a2t-1

at

，

即f(t)=

a

a2-1

(at-a-t)．

∴f(t)=

a

a2-1

(ax-a-x)．

∵f（x）的定义域为R，

设x₁＜x₂，则

f（x₁）-f（x₂）=

a

a2-1

[(ax1-a-x1)-(ax2-a-x2)]=

a

a2-1

•

(ax1-ax2)(1+ax1ax2)

ax1•ax2

．

∵a＞0，a≠1，

∴ax1ax2＞0，1+ax1ax2＞0．

若0＜a＜1，则ax1＞ax2，ax1-ax2＞0．

此时

a

a2-1

＜0，

∴f（x₁）＜f（x₂）．

同理，若a＞1，则f（x₁）＜f（x₂）．

综上所述，当a＞0且a≠1时，f（x）在R上单调递增．