问题
解答题
已知函数f（x）=a-
（Ⅰ）求a的值； （Ⅱ）判断并证明f（x）在R上的单调性． |
答案
（本小题满分13分）
（Ⅰ）∵f（x）=a-
在R上是奇函数2 ex+1
∴f（0）=0，…（2分）
即a-
=02 e0+1
∴a=1，此时f（x）=1-
…（4分）2 ex+1
经检验，当a=1时，f（-x）=-f（x），即函数f（x）为奇函数
∴a=1…（6分）
（Ⅱ）f（x）在R上是增函数，证明如下
∵f（x）=1-2 ex+1
任取x1，x2∈R，，且x1＜x2…（7分）
则f（x1）-f（x2）=
…（10分）2(ex1-ex2) (ex1+1)(ex2+1)
∵x1＜x2
∴ex1＜ex2，（ex1+1）（ex2+1）＞0
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）
∴f（x）在R上是增函数．…（13分）