设方程x²+ax+b=0的两个根为α，β，

∵方程有整数根，

设其中α，β为整数，且α≤β，

则方程x²+cx+a=0的两根为α+1，β+1，

∴α+β=-a，（α+1）（β+1）=a，（5分）

两式相加，得αβ+2α+2β+1=0，

即（α+2）（β+2）=3，

∴

解得

又∵a=-（α+β）=-[（-1）+1]=0，b=αβ=-1×1=-1，c=-[（α+1）+（β+1）]=-[（-1+1）+（1+1）]=-2，

或a=-（α+β）=-[（-5）+（-3）]=8，b=αβ=（-5）×（-3）=15，c=-[（α+1）+（β+1）]=-[（-5+1）+（-3+1）]=6，

∴a=0，b=-1，c=-2；或者a=8，b=15，c=6，

∴a+b+c=0+（-1）+（-2）=-3或a+b+c=8+15+6=29，

故a+b+c=-3，或29．（20分）