（I）由题意可知x≠0，

∵f(-x)=-x+

1

-x

=-(x+

1

x

)=-f(x)∴f（x）是奇函数（3分）

（II）f（x）在[1，+∞）内是增函数．（5分）

证明：设x₁，x₂∈[1，+∞）且x₁＜x₂

则f(x1)-f(x2)=x1+

1

x1

-x2-

1

x2

=(x1-x2)+

x2-x1

x1x2

=(x1-x2)

(x1x2-1)

x1x2

∵x₁-x₂＜0，x₁x₂＞1

∴f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂）

故f（x）在[1，+∞）内是增函数．（9分）

（III）由（1）知f（x）是奇函数，由（2）知f（x）在[1，+∞）内是增函数．

∴f（x）在[-3，-1]上是增函数

∴当x=-3时，f（x）有最小值为-

10

3

（12分）