在[1，+∞）上任取x₁，x₂，且1≤x₁＜x₂，（2分）

则f(x1)-f(x2)=

ax1

x 21 +1

-

ax2

x 22 +1

=a

(x1-x2)(1-x1x2)

( x 21 +1)( x 22 +1)

（6分）

∵1≤x₁＜x₂，

∴x₁-x₂＜0，且1-x₁x₂＜0．（8分）

（1）当a＞0时，f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），

∴f(x)=

ax

x2+1

是[1，+∞）上的减函数；（10分）

（2）当a＜0时，f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），

∴f(x)=

ax

x2+1

是[1，+∞）上的增函数；（12分）