问题
解答题
已知定义在（0，+∞）上的两个函数f（x）=x2-alnx，g（x）=x-a
（1）求a的值及函数g（x）的单调区间； （2）把g（x）对应的曲线向上平移6个单位后得曲线C1，求C1与f（x）对应曲线C2的交点个数，并说明理由． |
答案
（Ⅰ）∵f′(x)=2x-
，a x
∴f'（1）=2-a=0，∴a=2
∴g(x)=x-2
．x
由g′(x)=1-
＞0，得x＞1；由g′(x)=1-1 x
＜0，得0＜x＜1．1 x
∴g（x）的单调递减区间是（0，1），单调递增区间是（1，+∞）．（5分）
（3）由题意知C1：h(x)=x-2
+6．x
问题转化为G(x)=x2-2lnx-(x-2
+6)=0在（0，+∞）上解的个数x
G′(x)=2x-2
-1+1 x
=1 x
=2x2-2-x+ x x
．(
-1)(2xx
+2x+x
+2)x x
由G'（x）＞0，得x＞1；由G'（x）＜0，得0＜x＜1．
∴G（x）在区间（1，+∞）上单调递增，在区间（0，1）上单调递减．
又G（1）=-4＜0，所以G(x)=x2-2lnx-(x-2
+6)=0在（0，+∞）上有2个解．x
即C1与f（x）对应曲线C2的交点个数是2．（12分）