问题
解答题
已知函数f（x）=|x-m|和函数g（x）=x|x-m|+m2-7m．
（1）若方程f（x）=|m|在[-4，+∞）上有两个不同的解，求实数m的取值范围；
（2）若对任意x1∈（-∞，4]，均存在x2∈[3，+∞），使得f（x1）＞g（x2）成立，求实数m的取值范围．
答案
（1）方程f（x）=|m|，即|x-m|=|m|，解得x=0，或x=2m．
要使方程|x-m|=|m|在[-4，+∞）上有两个不同的解，
需 2m≥-4，且2m≠0．解得 m≥-2 且m≠0．
故实数m的取值范围为[-2，0）∪（0，+∞）．
（2）命题等价于任意x1∈（-∞，4]，任意的x2∈[3，+∞），fmin（x1）＞gmax( x2)成立．
又函数f（x）=|x-m|=
，故fmin（x1）=x-m ， x≥m m-x ， x＜m
．0 ， m≤4 f(4) =m-4， m＞4
又函数g（x）=x|x-m|+m2-7m=
，x(m-x)+m 2-7m ，x＜m x(x-m)+m 2-7m ， x≥m
故gmax( x2)=
．g(3) =m2-10m+9 ， m＜3 g(m) = m2-7m ， m≥3
当m＜3时，有0＞m2-10m+9，解得 1＜m＜3．
当 3≤m＜4，有0＞m2-7m，解得 3≤m＜4．
当4≤m，有m-4＞m2-7m，解得 4≤m＜4+2
．3
综上可得，1＜m＜4+2
，故实数m的取值范围为（1，4+23
）．3