问题 解答题

设a>0,函数f(x)=x2+a|lnx-1|.

(Ⅰ)当a=2时,求函数f(x)的单调增区间;

(Ⅱ)若x∈[1,+∞)时,不等式f(x)≥a恒成立,实数a的取值范围.

答案

(1)当a=2时,f(x)=x2+2|lnx-1|

=

x2-2lnx+2  (0<x≤e)
x2+2lnx-2  (x>e)
(2分)

当0<x≤e时,f′(x)=2x-

2
x
=
2x2-2
x

f(x)在(1,e]内单调递增;

当x≥e时,f′(x)=2x+

2
x
>0恒成立,

故f(x)在[e,+∞)内单调递增;

∴f(x)的单调增区间为(1,+∞).(6分)

(2)①当x≥e时,f(x)=x2+alnx-a,

f′(x)=2x+

a
x
(x≥e)∵a>0,

∴f′(x)>0恒成立,∴f(x)在[e,+∞)上增函数.

故当x=e时,ymin=f(e)=e2.(8分)

②当1≤x<e时,f(x)=x2-alnx+a,

f′(x)=2x-

a
x
=
2
x
(x+
a
2
)(x-
a
2
)(1≤x<e)

a
2
≥e,即a≥2e2时,

f′(x)在x∈(1,e)进为负数,

所以f(x)在区间[1,e]上为减函数,

故当x=e时,ymin=f(e)=e2.(14分)

所以函数y=f(x)的最小值为

ymin=

1+a,0<a≤2
3a
2
-
a
2
ln
a
2
e2,a≥2e2
,2<a<2e2

由条件得

1+a≥a
0<a≤2
此时0<a≤2;

3a
2
-
a
2
ln
a
2
≥a
2<a<2e2

此时2<a≤2e;或

e2≥a
a≥2e2
,此时无解.

综上,0<a≤2e.(16分)

材料分析题
单项选择题