设a>0,函数f(x)=x2+a|lnx-1|.
(Ⅰ)当a=2时,求函数f(x)的单调增区间;
(Ⅱ)若x∈[1,+∞)时,不等式f(x)≥a恒成立,实数a的取值范围.
(1)当a=2时,f(x)=x2+2|lnx-1|
=
(2分)x2-2lnx+2 (0<x≤e) x2+2lnx-2 (x>e)
当0<x≤e时,f′(x)=2x-
=2 x
,2x2-2 x
f(x)在(1,e]内单调递增;
当x≥e时,f′(x)=2x+
>0恒成立,2 x
故f(x)在[e,+∞)内单调递增;
∴f(x)的单调增区间为(1,+∞).(6分)
(2)①当x≥e时,f(x)=x2+alnx-a,
f′(x)=2x+
(x≥e)∵a>0,a x
∴f′(x)>0恒成立,∴f(x)在[e,+∞)上增函数.
故当x=e时,ymin=f(e)=e2.(8分)
②当1≤x<e时,f(x)=x2-alnx+a,
f′(x)=2x-
=a x
(x+2 x
)(x-a 2
)(1≤x<e)a 2
当
≥e,即a≥2e2时,a 2
f′(x)在x∈(1,e)进为负数,
所以f(x)在区间[1,e]上为减函数,
故当x=e时,ymin=f(e)=e2.(14分)
所以函数y=f(x)的最小值为
ymin=
,2<a<2e2.1+a,0<a≤2
-3a 2
lna 2 a 2 e2,a≥2e2
由条件得
此时0<a≤2;1+a≥a 0<a≤2
或
,
-3a 2
lna 2
≥aa 2 2<a<2e2
此时2<a≤2e;或
,此时无解.e2≥a a≥2e2
综上,0<a≤2e.(16分)