问题
解答题
设a＞0，函数f（x）=x2+a|lnx-1|．
（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）若x∈[1，+∞）时，不等式f（x）≥a恒成立，实数a的取值范围．
答案
（1）当a=2时，f（x）=x2+2|lnx-1|
=
（2分）x2-2lnx+2 (0＜x≤e) x2+2lnx-2 (x＞e)
当0＜x≤e时，f′(x)=2x-
=2 x
，2x2-2 x
f（x）在（1，e]内单调递增；
当x≥e时，f′(x)=2x+
＞0恒成立，2 x
故f（x）在[e，+∞）内单调递增；
∴f（x）的单调增区间为（1，+∞）．（6分）
（2）①当x≥e时，f（x）=x2+alnx-a，
f′(x)=2x+
（x≥e）∵a＞0，a x
∴f′（x）＞0恒成立，∴f（x）在[e，+∞）上增函数．
故当x=e时，ymin=f（e）=e2．（8分）
②当1≤x＜e时，f（x）=x2-alnx+a，
f′(x)=2x-
=a x
(x+2 x
)(x-a 2
)（1≤x＜e）a 2
当
≥e，即a≥2e2时，a 2
f′（x）在x∈（1，e）进为负数，
所以f（x）在区间[1，e]上为减函数，
故当x=e时，ymin=f（e）=e2．（14分）
所以函数y=f（x）的最小值为
ymin=
，2＜a＜2e2．1+a，0＜a≤2
-3a 2
lna 2 a 2 e2，a≥2e2
由条件得
此时0＜a≤2；1+a≥a 0＜a≤2
或
，
-3a 2
lna 2
≥aa 2 2＜a＜2e2
此时2＜a≤2e；或
，此时无解．e2≥a a≥2e2
综上，0＜a≤2e．（16分）
