问题
解答题
已知a＞1，f（logax）=
（1）求f（x）的解析式； （2）证明f（x）为R上的增函数； （3）若当x∈（-1，1）时，有f（1-m）+f（1-m2）＜0，求m的集合M． |
答案
（1）令t=logax（t∈R），
则x=at，f（t）=
(at-a a2-1
)，1 at
∴f（x）=
(ax-a a2-1
)（x∈R）．1 ax
（2）当a＞1时，指数函数y=ax是增函数，y=
是减函数，y=-1 ax
是增函数．1 ax
∴y=ax-
为增函数，1 ax
又∵
＞0，a a2-1
∴f（x）=
(ax-a a2-1
)是R上的增函数．1 ax
当0＜a＜1时，指数函数y=ax是减函数，y=
是增函数，y=-1 ax
是减函数．1 ax
∴y=ax-
为减函数．1 ax
又∵
＜0，a a2-1
∴f（x）=
(ax-a a2-1
)是R上的增函数．1 ax
综上可知，在a＞1或0＜a＜1时，y=f（x）为R上的增函数．
（3）∵f（-x）=
(a-x-a a2-1
)=-1 a-x
(ax-a a2-1
)=-f（x），且x∈R，1 ax
∴f（x）为奇函数．
∵f（1-m）+f（1-）＜0，
∴f（1-m）＜-f（1-m2），
∴f（1-m）＜f（m2-1），
由（2）可知y=f（x）为R上的增函数，
∴-1＜1-m＜m2-1＜1，
解之得：1＜m＜
．2