问题
解答题
设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=（2a-c）cosB．
（Ⅰ）求B的大小；
（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．．
答案
（I）由条件及正弦定理得sinBcosC=（2sinA-sinC）cosB=2sinAcosB-sinCcosB．
则sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB．
∴sin（B+C）=2sinAcosB，又sin（B+C）=sinA≠0，
∴cosB=
，又0＜B＜π，1 2
∴B=
．π 3
（Ⅱ）由A+B+C=π及B=
，得C=π 3
π-A．2 3
又△ABC为锐角三角形，
∴0＜A＜ π 2 0＜
π-A＜2 3
.π 2
∴
＜A＜π 6
．π 2
sinA+sinC=sinA+sin(
π-A)=2 3
sinA+3 2
cosA=3 2
sin(A+3
)．π 6
又A+
∈(π 6
， π 3
π)，2 3
∴sin(A+
)∈(π 6
， 1]．3 2
∴sinA+sinC∈(
， 3 2
]．3