显然，a=b=c=n=0是方程6（6a²+3b²+c²）=5n²（1）的一组解．

为求（1）的整数解，只须求出它的正整数解即可，而对于正整数解，只要求出a，b，c，n互质的解即可，为此设（a，b，c，n）=1．

由方程（1）可知，6是5n²的约数，

因为6与5互质，所以6是n²的约数，从而6是n的约数，进一步5n²有约数36，

因此6又是6a²+3b²+c²的约数，即6是3b²+c²的约数，

所以3是c²的约数，

故可设n=6m，c=3d，

代入（1）得

2a²+b²+3d²=10m²（2）

b²+3d²=10m²-2a²

所以b和d具有相同的奇偶性．

①若b和d同为奇数，考察用8除以（2）式两边所得的余数：

式（2）左边被8除的余数为2+1+3=6或0+1+3+4；

式（2）右边被8除的余数为0或2．

此时方程（2）无解，从而方程（1）无解．

②若b和d同为偶数，由a，b，d，n互质可知，a为奇数，

（2）式左边被8除的余数为2+（0或4）+（0或3）≠8，

所以（2）的左边不能被8整除，从而（2）的右边10m²不能被8整除，m一定为奇数；

这样可设a=2a₁-1，b=2b₁，d=2d₁，m=2m₁-1，

其中a₁，b₁，d₁，m₁都是正整数，则方程（2）化为2a₁（a₁-1）-10m₁（m₁-1）-2=-（b₁²+3d₁²），

10m₁（m₁-1）-2a₁（a₁-1）+2=b₁²+3d₁²（3）

由于m₁（m₁-1）及a₁（a₁-1）为偶数，

则（3）式左边为偶数，且被4除余2，而右边b₁和d₁不能同为偶数，

否则（3）式右边能被（4）整除，（3）式不能成立，

然而b₁和d₁同为奇偶时，（3）式右边仍能被4整除，（3）式不能成立，

于是，方程（2）无解，从而方程（1）无解．

综上讨论知，方程只有一组解a=b=c=m=0．