（1）当z为偶数，

∵z是质数，

∴z=2，即x^y=1．

∴在整数范围内必须x=1或y=0，但0、1均非质数，

∴z不可能是偶数，只能是奇数．

当z为奇数时，

∵x^y+1=z，

∴x^y为偶数，而奇数的任意次幂是奇数，

∴x必为偶数，但x是质数解，

∴x=2，此时方程为2^y+1=z．

而当y为奇数时，2^y+1是3的倍数，不为质数，所以y只能是偶数，即y=2，这时z=2²+1=5．

所以x=2，y=2，z=5是所求方程的唯一质数解；

（2）∵x、y、z互不相等的正整数，

∴不妨设x＜y＜z，则x≥1，y≥2，z≥3，

∴

1

x

+

1

y

+

1

z

＜

1

1

+

1

2

+

1

2

=2，

∴a=1．

又∵

1

x

＜

1

x

+

1

y

+

1

z

＜

3

x

，即

1

x

＜1＜

3

x

，

所以1＜x＜3．故x=2．

又∵方程

1

y

+

1

z

=

1

2

，

∴

1

y

＜

1

y

+

1

z

＜

2

y

，即

1

y

＜

1

2

＜

2

y

，故2＜y＜4，

∴y=3．

∴

1

3

+

1

z

=

1

2

，故z=6；

因此，方程的正整数解为x=2，y=3，z=6；

（3）∵2009=7²×41，而41是质数，

∴求方程

x

+

y

=

2009

=7

41

的整数解，则

x

和

y

与

41

是同类二次根式，

所以求x、y，即求方程a

41

+b

41

=7

41

的解（其中a，b是正整数），即a+b=7．

所以可取a=2，5，1，6，3，4；与a相对应的b=5，2，6，1，4，3．于是可求得原方程的解为：

x1=164 y1=1025 ， x2=1025 y2=164 ， x3=41 y3=1476 ， x4=1476 y4=41 ， x5=369 y5=656 ， x6=656 y6=369 ，

（4）∵2^a＜20.625＜25，

∴a＜5，设d≤c≤b≤a，若a≤3，则b≤2，c≤1，d≤0，从而2^a+2^b+2^c+2^d≤2³+2²+2¹+2⁰＜20.625，

所以a=4，若b=3时原方程不成立；若b=2，则根据题意得c=-1，d=-3，

所以原方程的解为a=4，b=2，c=-1，d=-3．

故答案为：x=2，y=2，z=5；所以可取a=2，5，1，6，3，4；

x1=164 y1=1025 ， x2=1025 y2=164 ， x3=41 y3=1476 ， x4=1476 y4=41 ， x5=369 y5=656 ， x6=656 y6=369 ，

；

a=4，b=2，c=-1，d=-3．