问题 填空题
△ABC中,∠C=90°,M是BC的中点,若sin∠BAM=
1
3
,则sin∠BAC=______.
答案

如图

设AC=b,AB=c,CM=MB=

a
2
,∠MAC=β,

在△ABM中,由正弦定理可得

a
2
sin∠BAM
=
c
sin∠AMB

代入数据可得

a
2
1
3
=
c
sin∠AMB
,解得sin∠AMB=
2c
3a

故cosβ=cos(

π
2
-∠AMC)=sin∠AMC=sin(π-∠AMB)=sin∠AMB=
2c
3a

而在RT△ACM中,cosβ=

AC
AM
=
b
(
a
2
)2+b2

故可得

b
(
a
2
)
2
+b2
=
2c
3a
,化简可得a4-4a2b2+4b4=(a2-2b2)=0,

解之可得a=

2
b,再由勾股定理可得a2+b2=c2,联立可得c=
3
b

故在RT△ABC中,sin∠BAC=

BC
AB
=
a
c
=
2
b
3
b
=
6
3

故答案为:

6
3

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