问题
填空题
△ABC中,∠C=90°,M是BC的中点,若sin∠BAM=
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答案
如图
设AC=b,AB=c,CM=MB=
,∠MAC=β,a 2
在△ABM中,由正弦定理可得
=a 2 sin∠BAM
,c sin∠AMB
代入数据可得
=a 2 1 3
,解得sin∠AMB=c sin∠AMB
,2c 3a
故cosβ=cos(
-∠AMC)=sin∠AMC=sin(π-∠AMB)=sin∠AMB=π 2
,2c 3a
而在RT△ACM中,cosβ=
=AC AM
,b (
)2+b2a 2
故可得
=b (
)2+b2a 2
,化简可得a4-4a2b2+4b4=(a2-2b2)=0,2c 3a
解之可得a=
b,再由勾股定理可得a2+b2=c2,联立可得c=2
b,3
故在RT△ABC中,sin∠BAC=
=BC AB
=a c
=
b2
b3
,6 3
故答案为:6 3