定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足f（xy）=f（x）+f（y），且当x＞1

问题解答题

定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足f（xy）=f（x）+f（y），且当x＞1时，f（x）＜0．

（1）求f（1）；

（2）证明f（x）在（0，+∞）上单调递减；

（3）若关于x的不等式f（k•3^x）-f（9^x-3^x+1）≥f（1）恒成立，求实数k的取值范围．

答案

（1）∵f（xy）=f（x）+f（y），

令x=y=1，

则F（1）=2f（1）

∴f（1）=0；（5分）

证明：（2）由f（xy）=f（x）+f（y）

可得f(

)=f(y)-f(x)，

设x₁＞x₂＞0，f(x1)-f(x2)=f(

)，

＞1，

∴f(

)＜0，即f（x₁）-f（x₂）＜0

∴f（x₁）＜f（x₂），所以f（x）在（0，+∞）上单调递减；（10分）

（3）因为f（k•3^x）-f（9^x-3^x+1）≥f（1），

所以f（k•3^x）≥f（9^x-3^x+1），由（2）得

k•3x≤9x-3x+1

k•3x＞0

（*）恒成立，

令t=3^x＞0，则（*）可化为t²-（k+1）t+1≥0对任意t＞0恒成立，且k＞0，

∴（k+1）²-4≤0

∴0＜k≤1．（15分）