先看被7除余3，则所有3+7n被7除都余3，

再结合被5除余4，看3+7n中n最小为什么值时满足被5除余4，

经观察当，n=3时，3+7n=24被5除余4．那么能被5除余4，被7除余3的数可以写成24+35n，

于是题目成了当n最小为什么值时24+35n能被3除余2，

经计算n=1时，24+35n=59满足被3除余2，

故59就是满足被5除余4，被7除余3，被3除余2的最小自然数．

故答案为：59．