问题
解答题
| 已知定义域在R上的单调函数y=f（x），存在实数x0，使得对于任意的实数x1，x2，总有f（x0x1+x0x2）=f（x0）+f（x1）+f（x2）恒成立． （1）求x0的值； （2）若f（x0）=1，且对任意正整数n，有an=
（3）在（2）的条件下，若不等式an+1+an+2+…+a2n＞
|
答案
（1）令x1=x2=0，得f（0）=f（x0）+2f（0），∴f（x0）=-f（0）①
令x1=1，x2=0，得f（x0）=f（x0）+f（1）+f（0），∴f（1）=-f（0）②
由①②得f（x0）=f（1）
又∵f（x）是单调函数，
∴x0=1；
（2）由（1）可得 f（x1+x2）=f（1）+f（x1）+f（x2）+1
则f（n+1）=f（n）+f（1）+1=f（n）+2
又∵f（1）=1
∴f（n）=2n-1（n∈N*），
∴an=1 2n-1
∵f（1）=f（
+1 2
）=f（1 2
）+f（1 2
）+f（1），1 2
∴f（
）=0，∴b1=f（1 2
）+1=11 2
∵f(
)=f(1 2n
+1 2n+1
)=2f(1 2n+1
)+f(1)=2f(1 2n+1
)+11 2n+1
∴2bn+1=2f(
+1 2n+1
)=2f(1 2n+1
)+2=f(1 2n+1
)+1=bn1 2n
∴bn=(
)n-11 2
∴Tn=b1b2+b2b3+…+bnbn+1=
[1-(2 3
)n]1 4
（3）令F（n）=an+1+an+2+…+a2n
则F（n+1）-F（n）=
+1 4n+1
-1 4n+3
＞01 2n+1
当n≥2时，F（n）＞F（n-1）＞…＞F（2）=a3+a4=12 35
∴
＞12 35
[log4 35
(x+1)-log1 2
(9x2-1)+1]1 2
即log
(x+1)-log1 2
(9x2-1)＜21 2
∴
，解得-x+1＞0 9x2-1＞0
＞x+1 9x2-1 1 4
＜x＜-5 9
或1 3
＜x＜11 3
故x∈(-
，-5 9
)∪(1 3
，1)1 3