问题 解答题

某商场向顾客发放9999张购物券,每张购物券上印有一个四位数的号码,从0001到9999号,如果号码的前两位数字之和等于后两位数字之和,则称这张购物券为“幸运券”.证明:这个商场所发放的购物券中,所有的幸运券的号码之和能被101整除.

答案

“如果某个号码n是幸运券,那么号m=9999-n也是幸运券”,这是解决问题的关键,请你考虑这句话合理性.

若六位数

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81ab93
是99的倍数,求整数a、b的值.

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81ab93
能被9整除,

∴8+1+a+b+9+3=21+a+b能被9整除,得3+a+b=9kl(k1为整数).①

又∵

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81ab93
能被11整除,

∴8-1+a-b+9-3=13+a-b能被11整除,得2+a-b=11k2(k2为整数).②

∵0≤a,b≤9,

∴0≤a+b≤18,-9≤a-b≤9,

由①、②两式,得3≤<9k1≤21,-7≤11k2≤11,

知k1=1,或k1=2;k2=0,或,而3+a+b与2+a-b的奇偶性相异,而k1=2,k2=1不符合题意.

故把k1=1,k2=0代入①、②两式,解方程组可求得a=2,b=4.代入所设6位数.即得到812493.

所以,这个商场所发放的购物券中,所有的幸运券的号码之和能被101整除.

单项选择题
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