问题 填空题
在△ABC中,A=30°,BC=2
5
,D是AB边上的一点,CD=2,△BCD的面积为4,则AC的长为______.
答案

由题意可得

1
2
CB•CD•sin∠BCD=4,即
1
2
×2
5
×2 sin∠BCD=4,解得 sin∠BCD=
2
5

①当∠BCD 为锐角时,cos∠BCD=

1
5

△BCD中,由余弦定理可得 BD=

CB2+CD2-2•CB•CD•cos∠BCD
=4.

△BCD中,由正弦定理可得

BD
sin∠BCD
 =
CD
sinB
,即
4
2
5
2
sinB
,故 sinB=
1
5

在△ABC中,由正弦定理可得

AC
sinB
BC
sinA
,即 
AC
1
5
=
2
5
1
2
,解得 AC=4.

②当∠BCD 为钝角时,cos∠BCD=-

1
5

△BCD中,由余弦定理可得 BD=

CB2+CD2-2•CB•CD•cos∠BCD
=4
2

△BCD中,由正弦定理可得

BD
sin∠BCD
 =
CD
sinB
,即 
4
2
2
5
=
2
sinB
,故 sinB=
1
10

在△ABC中,由正弦定理可得

AC
sinB
BC
sinA
,即 
AC
1
10
=
2
5
1
2
,解得 AC=2
2

综上可得 AC=4或2

2

故答案为  4或2

2

选择题
问答题