（1）∵f（x）是R上的奇函数

∴f（-x）=-f（x），

即

a•2-x-1

1+2-x

=-

a•2x-1

1+2x

，即

a-2x

1+2x

=

1-a•2x

1+2x

即（a-1）（2^x+1）=0

∴a=1

（或者∵f（x）是R上的奇函数∴f（-0）=-f（0），∴f（0）=0．∴

a•20-1

1+20

=0．，解得a=1，然后经检验满足要求．）

（2）由（1）得f(x)=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

设x₁＜x₂∈R，则f（x₁）-f（x₂）=（1-

2

2x1+1

）-（1-

2

2x2+1

）

=

2

2x2+1

-

2

2x1+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

，

∵x₁＜x₂

∴2x1＜2x2

∴f（x₁）-f（x₂）＜0，

所以f（x）在R上是增函数

（3）f(x)=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，

∵2^x+1＞1，∴0＜

1

2x+1

＜1，

∴0＜

2

2x+1

＜2，

∴-1＜1-

2

2x+1

＜1

所以f(x)=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

的值域为（-1，1）

或者可以设y=

2x-1

2x+1

，从中解出2^x=

1+y

1-y

，所以

1+y

1-y

＞0，所以值域为（-1，1）