问题
解答题
函数y=f（x）对于任意正实数x、y，都有f（xy）=f（x）•f（y），当x＞1时，0＜f（x）＜1，且f（2）=
（1）求证：f(x)f(
（2）判断f（x）在（0，+∞）的单调性；并证明； （3）若f（m）=3，求正实数m的值． |
答案
证明：（1）令x=1，y=2，得f（2）=f（1）f（2），又f(2)=
，1 9
∴f（1）=1，…（2分）
令y=
，得f(x•1 x
)=f(x)f(1 x
)=f(1)=1； …（4分）1 x
（2）任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则
＞1，0＜f(x2 x1
)＜1，x2 x1
∴f（x1）-f（x2）=f（x1）-f（
•x1）=f（x1）-f（x2 x1
）f（x1）=f（x1）[1-f（x2 x1
）]，…（7分）x2 x1
而当x＞0时，f(x)=f(
•x
)=[f(x
)]2≥0，且由（1）可知，f(x)f(x
)=1，f（x）≠0，1 x
则当x＞0时，f（x）＞0，
∴f（x1）＞0，1-f（
）＞0，x2 x1
∴f（x1）-f（x2）＞0，
则f（x）在（0，+∞）上是单调递减函数；…（10分）
（3）∵f(2)=
，1 9
∴f（
）=1 2
=9，1 f(2)
又f(
)=f(1 2
•2 2
)=[f(2 2
)]2，且f(2 2
)＞0，2 2
∴f（
）=3，…（13分）2 2
∵f（x）在（0，+∞）上是单调递减函数，m是正实数，
∴m=
…（16分）2 2