已知函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0，bc≠0），，F(x)=f(x)x＞

问题解答题

已知函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0，bc≠0），，F(x)=

f(x)	x＞0
-f(x)	x＜0.

（Ⅰ）若函数f（x）的最小值是f（-1）=0，且f（0）=1，求F（2）+F（-2）的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，f（x）＞x+k在区间[-3，-1]恒成立，试求k的取值范围；
（Ⅲ）令g（x）=2ax+b，若g（1）=0，又f（x）的图象在x轴上截得的弦的长度为m，且 0＜m≤2，试确定c-b的符号．

答案

（Ⅰ）由已知c=1，a-b+c=0，且-

=-1．

解得a=1，b=2，

∴f（x）=（x+1）²，∴F(x)=

(x+1)2	(x＞0)
-(x+1)2	(x＜0)

，

∴F（2）+F（-2）=（2+1）²+[-（-2+1）²]=8．

（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下，f（x）＞x+k在区间[-3，-1]恒成立，即x²+x+1-k＞0在区间[-3，-1]恒成立，

从而k＜x²+x+1在区间[-3，-1]上恒成立，

令函数p（x）=x²+x+1，

则函数p（x）=x²+x+1在区间[-3，-1]上是减函数，且其最小值p（x）_min=p（-1）=1，

∴k的取值范围为（-∞，1）

（Ⅲ）由g（1）=0，得2a+b=0，

∵a＞0∴b=-2a＜0，

设方程f（x）=0的两根为x₁，x₂，则x1+x2=-

=2，x1x2=

，

∴m=|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x 2

，

∵0＜m≤2，∴0＜

≤1，∴0≤

＜1，

∵a＞0且bc≠0，∴c＞0，

∴c-b＞0