问题
选择题
某同学在研究函数f(x)=
①函数f（x）的值域为（-1，1）；②若f（x1）=f（x2），则恒有x1=x2；③f（x）在（-∞，0）上是减函数； ④若规定f1（x）=f（x），fn+1（x）=f[fn（x）]，则fn(x)=
上述结论中所有正确的结论是（ ）
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答案
①|x|＜1+|x|，故
∈(-1，1)，函数f（x）的值域为（-1，1），①正确；x 1+|x|
②函数f(x)=
是一个奇函数，当x≥0时，f(x)=x 1+|x|
=1-x 1+x
，判断知函数在（0，+∞）上是一个增函数，由奇函数的性质知，函数f(x)=1 1+x
（x∈R）是一个增函数，故若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2），x 1+|x|
从而有若f（x1）=f（x2），则恒有x1=x2；
此命题正确；
③由②已证f（x）在（-∞，0）上是增函数，故此命题不正确；
④当n=1，f1（x）=f（x）=
，f2(x)=x 1+|x|
=x 1+|x| 1+ |x| 1+|x|
，x 1+2|x|
假设n=k时，fk(x)=
成立，则n=k+1时，fk+1(x)=x 1+k|x|
=x 1+k|x| 1+ |x| 1+k|x|
成立，x 1+(k+1)|x|
由数学归纳法知，此命题正确．
故选D．